FRACTALE DE MANDELBROT ET JULIA [DJGPP]

Voir le fichier zip pour le code source, ici j'explique en gros comment generer une fractale pour ceux qui ne le sauraient pas.

Premiere chose a savoir pour vouloir generer une fractale : les operations sur les nombres complexes.

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + bi, ou i est un nombre tel que i^2 = -1 (en d'autre mot, i est la racine carree de -1, c'est donc un nombre 'imaginaire')

A partir de la toutes les operations se font normalement, mais en tenant compte du fait que i^2 = -1

exemple :

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) * (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Ensuite, les fractales de Mandelbrot et de Julia sont bases sur une seule ridicule petite formule :

z_n+1 = z_n^2 + c

(ne pas oublier que c et z sont des nombres complexes !)

Si je prend z_0=a+bi et c=c+di, j'ai donc :

z_0=a+bi
z_1=(a+bi)^2+(c+di)
z_2=((a+bi)^2+(c+di))^2+(c+di)
z_3=(((a+bi)^2+(c+di))^2+(c+di))^2+(c+di)
etc...

Les nombres complexes sont donc d'une certaine maniere des couples de nombres 'normaux'.
Vu qu'on a donc deux nombres, on peut representer les nombres complexes sur un plan, le nombre z=a+bi sera le point (a,b)

Maintenant, on se rend compte que selon la valeur de depart de z_0, la plupart des z_n deviennent de plus en plus grand jusqu'a l'infini, mais que certains au contraire convergent...
Ces valeurs de depart z_0 qui donnent des z_n convergents appartiennent a l'ensemble de Mandelbrot, c'est notre fractale.

Cependant on ne peut evidemment pas calculer les z_n jusque l'infini pour savoir s'ils convergent ou pas... mais on peut etre sur que si la valeur absolue d'un nombre est plus grande que 2, alors il va diverger.
La valeur absolue d'un nombre complexe z=a+bi est |z|=sqrt(a^2+b^2), en fait c'est la distance de (a,b) a (0,0)

Donc je devrai seulement calculer les z_n tant que (a^2+b^2)<4 (mais avec un nombre d'iterations maximum, sinon les nombres appartenant a la fractale provoqueront une boucle infinie !)

Il reste a colorier differemment les points z_0 selon qu'ils divergent ou convergent. Generalement, on choisir de colorier en noir les z_0 convergents et d'attribuer une couleur au z_0 divergents selon le nombre d'iterations necessaires avant qu'ils se mettent a grandir irremediablement.

Et par magie (et ca je ne sais pas vraiment l'expliquer), la fractale de Mandelbrot va apparaitre.

Le c de l'equation z_n+1 = z_n^2 + c est en fait une 'perturbation', normalement on met le c a zero, autrement la fractale sera un peu 'deformee'.


Quant a la fractale de Julia c'est presque pareil, a la difference pres que z_0 contiendra une constante et c contiendra le point.
Ce qui est interessant c'est que les constantes z_0 les plus interessantes sont celles qui bordent la fractale de Mandelbrot... c'est pourquoi dans le programme on peut voir un 'apercu' du Julia 'associe' au Mandelbrot.


Le seul probleme est donc qu'il est parfois un peu lent de calculer une fractale... en effet, si je veux une image de dimensions x*y, avec une iteration maximum de i, alors il faudra executer la formule x*y*i fois (et apres ça s'occuper du coloriage, etc...).


PS : normalement on ecrit 'fractale', c'est un mot féminin, en tout cas Benoit Mandelbrot en expliquant sa theorie a insiste pour que 'fractale' soit utilise au feminin... cependant on le voit souvent ecrit au masculin 'un fractal'.

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